Análisis de fuerzas

Elección de la placa

Al momento de analizar la magnitud de la fuerza aplicada sobre el bote, tenemos que tener en cuenta las características de la placa que recibe el impacto del chorro de agua.

El chorro de agua al impactar la placa lo hace con una fuerza F₁ tal como aparece en la figura. Luego este chorro se divide en dos flujos en direcciones opuestas con respecto al eje y, pero en el mismo sentido en el eje x. Diremos que estos flujos salen con una fuerza constante F₂ y F₃ respectivamente.

Como supuesto diremos que el chorro de agua impacta justo al centro de la placa, por lo que los flujos de agua que salen lo hacen con un área transversal igual a la mitad del área transversal original.

Pero además sabemos que

ya que no hay fuerzas externas sobre el chorro de agua. Luego reemplazamos

y nos queda lo siguiente

Esta última ecuación nos da la fuerza sobre una placa con un ángulo determinado. Si derivamos con respecto al ángulo e igualamos a cero obtendremos el ángulo para el cual se maximiza esta fuerza.

Vemos que para un ángulo completamente cerrado se maximiza la fuerza total y es por esto que decidimos utilizar una placa semi-esférica como receptora del impacto del chorro.

Para este tipo de placa la fuerza resultante seria

Calculo de la fuerza del chorro sobre la placa

Para el cálculo de la fuerza con que el chorro impacta la placa hacemos equilibrio de energía sobre el sistema de propulsión. Tomaremos como punto inicial la superficie superior del estanque, donde el agua esta en reposo, y como punto final el orificio por donde sale el chorro de agua.

Por las condiciones en que se encuentra este sistema de propulsión tenemos que

Luego

Teniendo la velocidad podemos calcular el caudal y la fuerza. Para esto usamos estas dos ecuaciones

Aceleración del bote

Ya tenemos todo listo para hacer el análisis de movimiento del bote.

Para esto tenemos que hacer un equilibrio de fuerzas en x sobre el bote, tenemos la fuerza aplicada por el chorro sobre la placa del barco y tenemos la fuerza de roce viscoso del bote al moverse sobre el agua. Esta fuerza de roce es proporcional al cuadrado de la velocidad, y se rige por la siguiente ecuación

Donde A es el área transversal del barco con respecto a su movimiento, y Cd es el coeficiente de arrastre.

Ahora estamos listos para hacer el equilibrio de fuerzas sobre el bote

Reemplazando por las ecuaciones ya encontradas anteriormente para F y Fr, tenemos que

Debido a unos problemas al momento de construir el barco decidimos cambiar las medidas originales de este, y así la nueva área transversal quedo como sigue

Luego la ecuación final queda como sigue

Esta ecuación es una ecuación diferencial que nos entregaría la ecuación final de velocidad en función del tiempo. Para la próxima actualización del blog hablaremos del coeficiente de arrastre y resolveremos esta ecuación para obtener nuestro tiempo estimado final.